Logisch?

Heute wird es gefährlich. Das Wissen, an dem ich euch gleich teilhaben lasse, hat schon Menschen in psychiatrische Behandlung getrieben, obwohl es nur um logische Schlüsse geht. Es sollte also bitte nur weiter lesen, wer eine stabile Persönlichkeit hat.

Es geht um die einfache Frage "wie lässt sich Logik beschreiben?". Man erwartet von einem solchen System, das wir gleich definieren werden, dass es genau das leistet, was wir als "gesunden Menschenverstand" bezeichnen, also das sinnvolle Schließen. Dazu müssen wir uns zunächst einmal überlegen, was ein sinnvoller Schluss ist und was nicht. Diese Regeln werden wir dann als "Axiome" festhalten. Ein Axiom ist nichts weiter als eine "Wahrheit", die man einfach per Definition festlegt.

Ein logischer Schluss wäre etwa: Wenn Hunde braun sind, und Bello ein Hund ist, dann ist Bello braun. Etwas formaler: 

(Hund - > braun) und (Hund) dann (braun)

Verallgemeinert: Wenn A - > B und A, dann B

Das wäre schon unser erstes Axiom, die sogenannte Pfeilbeseitigung oder auch "modus ponens". Achtung: der Pfeil ist ein Symbol des formalen Systems, die geschriebenen Worte "und" und "dann" dagegen nicht, sie stehen außerhalb des Systems!

Eine zweite Regel: Wenn Bello braun ist, dann ist Bello auch braun, wenn es draußen regnet.

Also: (braun), dann auch (Regen - > braun)

Oder: B, dann A - > B

Das ist das Gegenstück, die Pfeileinführung. Diese beiden Regeln sind schon das Hauptrüstzeug, das wir benötigen. Desweiteren gibt es noch die Existenz- und Allregeln, die und-Regeln und die oder-Regeln, wie etwa die Fallunterscheidung: Wenn unter der Annahme A herleitbar ist, dass C gilt und man C auch unter der Annahme B gilt, und man außerdem weiß, dass A oder B gilt, dann muss C gelten.

Alle diese Regeln, die wir einführen, sind sehr einfach und logisch. Wenn wir uns streng nach ihnen richten, werden wir also aus einer wahren Tatsache nie etwas falsches schließen können. Achtung: die wahre Aussage, von der wir hier reden, ist außerhalb des Systems wahr. Wir definieren sie deshalb innerhalb des Systems als Axiom und können daraus dann innerhalb des Systems unter Anwendung der Schlussregeln neue Aussagen erzeugen. Von diesen können wir deshalb davon ausgehen, dass sie auch außerhalb des Systems wieder wahr sein werden.

Und nun kommt der kranke Teil. Man kann die Zahlentheorie innerhalb eines solchen formalen Systems beschreiben. Für die Nichtmathematiker: die Zahlentheorie ist mehr oder minder die "einfachste" mathematische Disziplin, sie beschäftigt sich ausschließlich mit Eigenschaften von Zahlen. Eines ihrer Axiome ist etwa, dass es zu jeder Zahl einen direkten Nachfolger gibt.

Gödel hat nun etwas schockierendes entdeckt. Er hat Aussagen der Zahlentheorie auf bestimmte Weise eine Nummerierung gegeben. Das bedeutet, jede Aussage ist nun mit einer Zahl zu identifizieren. Eine Aussage über Zahlen also die selbst eine Zahl ist. Sie kann sich also, wenn es blöd läuft, auf sich selbst beziehen.

Nun kann man folgende Aussage konstruieren: Diese Aussage ist in diesem System nicht herleitbar. Nehmen wir an, sie ist außerhalb des Systems wahr. Dann ist das System offensichtlich unvollständig, da man diesen wahren Satz nicht durch logische Schlussfolgerungen erreichen kann. Nimmt man allerdings an, dass dieser Satz außerhalb des Systems falsch ist, dann muss er herleitbar sein. Unser System, dass nur logische Schlüsse verwendet, liefert uns einen unwahren Satz!

Diese gnadenlose Wahrheit gilt, wie man beweisen kann, in jedem formalen System, dass mächtig genug ist, die Zahlentheorie zu beschreiben. Aber was können wir daraus schließen? Haha. Ironisch, oder nicht? Selbst wenn wir etwas daraus schließen könnten, woher wüssten wir, dass die Folgerung wahr wäre, egal wie logisch uns der Schluss vorkommt? Woher nehmen wir überhaupt das Selbstvertrauen, behaupten zu können, dass Aussagen wahr sind, wenn sie logisch nicht herleitbar sind? Denken Menschen unlogisch? Wie kann ein Mensch Wahrheit beurteilen? GIBT es Wahrheit? Vielleicht noch ein kleines Zitat zum Ende:

Die Wahrheit ist relativ. Suchen Sie sich eine aus.